Ученые факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ в составе международного исследовательского коллектива изучили математическую модель, описывающую пространственную динамику популяций растений. В отличие от многих традиционных моделей, описывающих только общую численность популяции, данный подход учитывает также физическое расположение особей, их конкуренцию за ресурсы и дальность распространения семян. Полученные результаты могут использоваться при дальнейшем исследовании пространственных моделей популяционной динамики и связанных с ними задач теоретической экологии. Результаты работы опубликованы в журнале Mathematics.
Одним из методов анализа подобных систем является метод пространственных моментов. В нем первый момент описывает среднюю плотность популяции, второй — вероятность обнаружить пару особей на заданном расстоянии. Такая модель приводит к системе взаимосвязанных уравнений. В случае равновесного состояния популяции математическая модель приводит к нелинейному интегральному уравнению, анализ которого представляет сложную задачу.
Ученые МГУ нашли решение этого уравнения, применив методы функционального анализа. Кроме теоретического результата, они предложили эффективный численный метод. Использование свойств радиальной симметрии взаимодействий между особями и преобразований Фурье и Ханкеля позволили существенно сократить вычислительную сложность алгоритма.
С помощью разработанного алгоритма были проведены численные эксперименты, которые показали, как пространственная структура популяции зависит от соотношения радиуса распространения семян и зоны конкуренции между организмами.
«Как показывает эта работа, попытки точно описать конкуренцию и рассеивание видов приводят к нетривиальным интегральным уравнениям, требующим тонкой аналитической работы. Теоретическая биология таит в себе множество подобных сложных задач, доказывая, что она способна не только использовать готовые инструменты, но и стимулировать развитие самой математики», – отметил Алексей Никитин, доцент кафедры общей математики факультета ВМК МГУ.