Теория C*-гильбертовых модулей и C*-алгебр — это раздел некоммутативной геометрии — области, относящейся преимущественно к теоретической математике. Она описывает геометрические объекты в алгебраических терминах и использует алгебраические методы для получения новых геометрических результатов, благодаря чему алгебра и геометрия взаимно обогащают друг друга. Классическим геометрическим объектам соответствуют коммутативные алгебры, тогда как некоммутативные и приводят к некоммутативным аналогам пространств. Эта теория обобщает теорию гильбертовых пространств, то есть пространств со скалярным произведением, в которых фреймы играют роль, грубо говоря, системы координат. Но в случае гильбертовых модулей эта теория становится гораздо сложнее, причем даже в случае простейшего модуля — самой C*-алгебры (для достаточно проблемной алгебры), основной вопрос здесь — какие модули имеют фреймы, а какие — нет? Тесным образом с этой задачей оказывается связана теория ""компактных"", или А-компактных, операторов — отображений, которые хорошо приближаются конечномерными. В случае гильбертовых пространств имеется геометрический критерий этого свойства, для модулей же аналогичные результаты до недавнего времени были получены лишь в отдельных случаях. В докладе будут представлены результаты последних лет, посвященные этим вопросам.