Сотрудники физического факультета МГУ профессор Валентин Лычагин, профессор Алексей Кушнер и аспирант Михаил Рооп предложили новый подход к термодинамике, основанный на контактной геометрии и теории измерения случайных векторов – экстенсивных переменных. Основанное на фундаментальном уравнении термодинамики Гиббса, исследование привело к описанию термодинамических состояний как лежандаровых и лагранжевых многообразий. Предложенный метод может быть полезен, например, при разработке нефтяных месторождений. Результаты работы опубликованы в журнале Entropy.
«С точки зрения современной дифференциальной геометрии это уравнение представляет собой дифференциальную 1-форму на нечетномерном пространстве, координатами в котором являются экстенсивные и интенсивные переменные, а также энтропия. Эта дифференциальная 1-форма, которая сейчас называется формой Гиббса, не удовлетворяет условию теоремы Фробениуса и поэтому определяет максимально неинтегрируемое, т. е. контактное распределение, которое называется распределением Гиббса. Таким образом, контактная геометрия является естественным языком для описания термодинамических процессов и систем. Это, в частности, объясняет популярность применения в термодинамике преобразования Лежандра, которое является контактным преобразованием – таким, которое сохраняет распределение Гиббса. Переход от одних термодинамических переменных к другим осуществляется именно при помощи контактных преобразований», – рассказал д.ф.-м.н., профессор кафедры физико-математических методов управления физического факультета МГУ Алексей Кушнер.
«Для лежандровых и лагранжевых многообразий в данной работе введены римановы структуры, и одной из отличительных ее особенностей является наблюдение, что эти структуры естественным образом появляются при измерении экстенсивных переменных, а именно: определена квадратичная форма, которая представляет собой дисперсию измерения экстенсивных величин. Такое геометрическое представление термодинамических состояний позволило нам использовать принцип максимума Понтрягина, чтобы найти оптимальный термодинамический процесс, максимизирующий функционал работы. Использование же римановых структур позволило сформулировать задачу оптимального управления», – продолжил Алексей Кушнер.
Еще одним важным результатом работы явилось наблюдение, что гамильтонова система, соответствующая идеальному газу, оказывается интегрируема в смысле Лиувилля. С помощью перехода к переменным «действие – угол» ее удалось явно проинтегрировать. Кроме того, доказана теорема об управляемости термодинамической системы для идеальных газов. Также рассмотрен случай реальных газов в вириальном приближении.
Описанный в работе подход к термодинамике является новым и позволит применить геометрические методы к описанию и исследованию многих физических процессов – например, к описанию фазовых переходов и решению задач управления термодинамическими процессами. В частности, задач фильтрации в пористых средах, возникающих при разработке нефтяных месторождений, задач описания движения сплошных сред и др.